史上最难的几何题

Question

已知：四边形EFGH是正方形且AE=BE=CG=DH
求证：四边形ABCD是正方形
打错了，是AE=BF=CG=DH

Answer 1

此题属于一类经典的平面几何题，用常规证法不太容易，但用反证法（或同一法）却有奇效！

只需证EFGH为矩形，以下利用全等显然。

用反证法，反设EFGH不是矩形，它的四个内角中至少有一个钝角，不妨设∠G为钝角。

作BF'垂直FG于F'，DG'垂直FG于G'.
易证△CDG'≌△CBF'，故CG'=BF'.

但∠G为钝角，故CG'>CG; 斜边大于直角边，故BF'≤BF.
于是CG<BF, 矛盾于已知！

Answer 2

因为AE=BF，AB=BC所以BE=FC,又因为BF=CG，∠B=∠C,所以BEF与直角三角形CFG全等同理可以证明其他三角形全等，AE+BE=BF+FC所以四边形ABCD是正方形追问

呃，，，哪儿来的AB=BC？

追答

AE+BE=BF+FC,因为由全等得BF=AE,FC=BE

追问

可是证明不了全等，因为是内证外

追答

我看错了 那也可以证，还有EF=GF=GH=HE 三个边相等怎么证不了

追问

还缺少角的条件，而且AH与BE没有告诉相等

追答

用反证法

追问

但那样好难叙述，而且有太多可能的分类，证明就不严格了

Answer 3

证明AFCH是平行四边形和BGDE是平行四边形

Answer 4

反证法应该可以。