考研高数题，y=f(x)过(1，0)，∫01f(tx)dt=f(x)+x²，f(x)可导，求f(x)

Question

如图 ，用tx=u代换之后，1/x∫f(u)du=f(x)+x²，为什么不能左右同时乘以x呢，别人给的答案是直接两边同时求导，两种方法得出的结果不一样，麻烦各位帮忙解答一下。图二中的方法正确吗？我现在迷糊了。

Answer 1

图2的解法不正确。对∫(0,1)f(tx)dt，其中的x是被视为“常数”的。故，设u=tx，dt=du/x，x依然视为“常数”。
∴代入题设条件，有(1/x)∫(0,x)f(u)du=f(x)+x²。两边乘以x，∫(0,x)f(u)du=xf(x)+x³。再两边对x求导，
∴f(x)=f(x)+xf'(x)+3x²。∴f'(x)=-3x。两边积分，∴f(x)=(-3/2)x²+C。又，f(1)=0，∴C=3/2。
∴所求曲线方程是f(x)=3(1-x²)/2。

Answer 2

详细解答见下图，希望对你有帮助。

Answer 3

容我想想，去去便来追答

两边同时乘以x，你的想法是对的，这样求解也很简单，图中的解法是错的，因为你把结果代进去以后会发现等式不成立，用你的方法解出来结果是不是y＝(-3/2)x^2+(3/2)，我验过了，代进去是可以的，你要相信自己，望采纳

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Answer 4

您好，您为什么想要乘x？