微分方程的特解与通解

Question

如题所述

Answer 1

y''+3y'+2y=3e^(-2x)
(1)先求齐次方程的通解

特征方程
r²+3r+2=0
(r+2)(r+1)=0
得r=-1或r=-2
所以齐次通解Y=C1e^(-x) + C2e^(-2x)
(2)再求非齐次的特解

根据已知λ=-2是特征方程的单根，所以k=1
设y*=x ae^(-2x)
y*'=ae^(-2x)-2xae^(-2x)
y*''=-2ae^(-2x)-2ae^(-2x)+4xae^(-2x)
代入原方程得
-2ae^(-2x)-2ae^(-2x)+4xae^(-2x)+3[ae^(-2x)-2xae^(-2x)]+2xae^(-2x)=3e^(-2x)
-ae^(-2x)=3e^(-2x)
得a=-3
所以y*=-3xe^(-2x)
综上，该非齐次的通解为
y=Y+y*=C1e^(-x) + C2e^(-2x) -3xe^(-2x)