高中数学不等式

Question

1.若不等式ax^2+5x+c>0的解集为2<x<3,求(c/a)x^2+(5/a)x+1≥0的解集
2.已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c且f(-1)=0 是否存在常数a、b、c，使得不等式x≤f（x）≤1/2（x^2+1)对一切实数x都成立?并求出a、b、c的值

Answer 1

很简单，需要二次函数的性质和不等式的相关知识就可以了
1.解：若不等式ax²+5x+c>0的解集为2<x<3
则 a(x-2)(x-3)=ax²-5ax+6a>0
上下两式对比得到 a/a=5/-a=c/6a 得到 a=-5 c=-30
这样 (c/a)x²+(5/a)x+1=6x²-x+1=(3x+1)(2x-1)≥0
解得x≤-1/3 或x≥1/2
所以 (c/a)x²+(5/a)x+1≥0的解集为 x∈(-∞,-1/3]∪[1/2,+∞)
2.解：已知二次函数f(x)=ax²+bx+c 且f(-1)=0 则 a+c=b
由不等式 x≤f(x)≤(1/2)(x²+1)
这样得到两个不等式 参照结论a+c=b得到
ax²+(a+c-1)x+c≥0 (2a-1)x²+2(a+c)x+2c-1≤0
对于第一个不等式有 △=(a+c-1)²-4ac≤0 (1)
对于第二个不等式有 △=4(a+c)²-4(2a-1)(2c-1)≤0 (2)
(1)(2)不等式相加得到 a²+c²-2ac≤0 又显然有 a²+c²-2ac≥0
故 a=c (3)
将(3)式代入 (1)(2)
由(1)得到 -4a+1≤0 由(2)式得到 4a-1≤0
得到 a=1/4 故 c=1/4 b=2a=1/2
所以 a=c=1/4 b=1/2

Answer 2

1.对于这种题，说是他的解集，就是说是x＝2,x＝3是ax^2+5x+c＝0的根，代入就可以知道a，c的值，然后代入后面那个不等式，就可以求出所求的解集了。
2.首先有a－b＋c＝0；由x≤f（x）≤1/2（x^2+1)，取x＝1,可得f(1)=1;
从而可得a+c=1/2;b=1/2;由于x<=f(x)对于任意x恒成立可得,ax^2+(b-1)x+c>=0恒成立，则有a>0,(b-1)^2-4*b*a<=0,对于另一个也可得到两条不等式，从而可确定a，c的值，或范围。具体的，要自己算下，这只是一个思路。

Answer 3

1。ax^2+5x+c>0的解集为2<x<3
可以知道a<0
2+3=-5/a
2*3=c/a a=-1，c=-6
(c/a)x^2+(5/a)x+1≥0即6x^2-5x+1≥0
x>=1/2 或 x<=1/3
2。不等式x≤f（x）≤1/2（x^2+1)对一切实数x都成立
当x=1时 1≤f（1）≤1 所以f（1）=1 又f(-1)=0
所以1=a+b+c
0=a-b+c b=1/2 c=1/2 -a
f(x)=ax^2+1/2x+1/2 -a x≤f（x）
ax^2-1/2x+1/2 ≥0 △≤0 得到a=1/4
由f（x）≤1/2（x^2+1)也可以得到a=1/4
此时c=1/4
所以存在a=c=1/4，b=1/2 满足题意本回答被提问者采纳

Answer 4

1.a=-1,c=-6 c/a=6 5/a=-5 6x^2-5x+1>=0的解集为x<=1/3或x>=1/2
2.f(-1)=a-b+c=0，即b=a+c，假设存在，
首先对于左半部分，x<=ax^2+(a+c)x+c恒成立，Δ<0,a>0
对于右半部分，同理，自己解决