谢谢你,高手!真的不胜感激!我还有两个问题~1、若两矩阵,则构成的二次型正负惯性指数相同~这是个充要条件!就像您说的不管怎样合同变换,正负惯性指数不变~这句话有没有几何上的或者较为直观的理解?或者说为什么合同变换后其正负惯性指数不变? 2、求相似对角化的变换矩阵我会,正交也会,但是好像合同变换的矩阵条件较弱,合同对角化矩阵怎么求呢?
追答1、在欧氏几何里,合同变换的概念来源于刚体运动这种物理现象。一个刚性的物体经过运动后,仅改变了物体的位置,并没有改变物体的形状与大小。如平移变换,旋转变换,反射变换。它的最基本的不变量是任意两点间的距离。
但在线性代数里,合同变换的几何上的直观的理解似乎有些区别。n元二次型若看做n维空间的一个几何曲面,经过合同变换,二次型的正负惯性指数不变,可以认为是保持曲面的类型不变。例如
三维空间的单叶双曲面经过合同变换一定还是单叶双曲面(正负惯性指数不变),绝对不会化为椭球面或双叶双曲面。
2、合同对角化矩阵怎么求?则实际上很简单,就是做合同变换。其方法是:拼一个与A同阶的单位矩阵:
A
E
对整个分块矩阵进行一次列初等变换,即对整个分块矩阵右乘一个初等矩阵P;再只对矩阵A进行一次相同的行初等变换,即只对矩阵A左乘PT。
如此继续,当把A化为对角矩阵时,就把E化为了合同变换的矩阵C,即有CTAC=diag.
高手!!!!
还能追问?
追答可以的,不客气。
追问大神,不知道手机如何追加财富值,确实还有个问题,有空帮我看看啊!
1、没有什么规则要求,只要求变换是非退化的就行。
2、如你前面所设的话,y3对应x1,x2,或x3都可以,因为所给的变换是非退化的。从几何的角度看,不同的对应相当于交换坐标轴,没有关系的。
3、这种变换确实不可以。事实上,变换的矩阵为
1 1 0
0 1 -1
1 0 1
其行列式等于0,说明变换是退化的。如果从几何的角度来说,退化的的变换有可能改变曲面的类型。至于配方过程中要如何才能保证变换是可逆的。这只要你始终用拉格朗日配方法,就一定能保证所做的变换是可逆的。
拉格朗日配方法是指:若一个n元二次型中含有xi的平方项,则先把含有xi的乘积项集中,对所有含有xi的项配方。这样一来,余下的项就不再含有 xi这个变量,从而余下的就是一个n-1元的二次型。如此继续,变量的个数逐步减少,最终一定可化为只有平方项的形式,即标准型。而通过这样配方所得的变换一定是非退化的。