首先,我们考虑一个数列 an,存在常数 p > 1 使得
存在。我们想证明an 是一个收敛的数列。
为了使用比较法证明 an 的收敛性,我们可以考虑与 1/np 进行比较。
假设当 n 趋向正无穷时,an⋅np 收敛到 L,即
由极限的性质,我们可以得到
现在我们希望证明 an 是一个收敛的数列。为了使用比较法,我们希望找到一个趋近于零的数列,使得 ∣an∣≤ 这个趋近于零的数列。
因此,对于所有 n>N,我们有
这就说明 ∣an∣ 是一个趋近于零的数列。
根据比较法,由于存在一个趋近于零的数列 M,使得∣an∣≤M,而 M 是收敛的,所以根据比较法,an 也是收敛的。