存在常数p>1,使得n趋向正无穷的极限【an*n的p次方】存在，数列an收敛？

Question

这个用比较法证明的时候如果当值为零时为什么an小于1/n*p呢

Answer 1

首先，我们考虑一个数列 an，存在常数 p > 1 使得

存在。我们想证明an 是一个收敛的数列。

为了使用比较法证明 an 的收敛性，我们可以考虑与 1/np 进行比较。

假设当 n 趋向正无穷时，an⋅np 收敛到 L，即

由极限的性质，我们可以得到

现在我们希望证明 an 是一个收敛的数列。为了使用比较法，我们希望找到一个趋近于零的数列，使得 ∣an∣≤ 这个趋近于零的数列。

因此，对于所有 n>N，我们有

这就说明 ∣an∣ 是一个趋近于零的数列。

根据比较法，由于存在一个趋近于零的数列 M，使得∣an∣≤M，而 M 是收敛的，所以根据比较法，an 也是收敛的。