设函数f(x)在(0,1]内连续可导,且lim(x趋向于0+)(√x)f`(x)存在,证明f...答:对任意a, b∈(0,1], a < b, 在[a,b]上对f(x)与√x使用Cauchy中值定理得: 存在c∈(a,b)使 (f(a)-f(b))/(√a-√b) = f'(c)/(1/(2√c)) = 2(√c)f'(c).于是|f(a)-f(b)| = 2(√c)f'(c)|√a-√b| < 2M|√a-√b|.又√x在[0,1]连续故一致连续:...
设函数f在开区间(a,b)上连续,f(a+)和f(b-)存在且有限,证明f在(a,b...答:证明:补充定义,设f(a)=f(a+),f(b)=f(b-)∵函数f(x)在开区间(a,b)上连续 ∴函数f(x)在闭区间[a,b]上连续 由Cantor定理知,函数f(x)在闭区间[a,b]上一致连续 故函数f(x)在开区间(a,b)上一致连续.证毕.
求解两道高数中值定理题第一题:设函数f(x)在区间[a,b]上连续(a>0...答:解这种题的关键在于合理构造辅助函数1.证明:令g(x)=x^2,由拉格朗日中值定理存在η∈(a,b),使得g'(η)=[g(b)-g(a)]/(b-a),即2η=a+b所以原题即为证明存在ξ,η∈(a,b),使得f'(ξ)=f'(η).当ξ=η时,显然成立2.证明:令g(x)=arctanx,由柯西中值定理得存在ξ∈(0,1)...
设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且fx的导数不等于1,fa大于a...答:x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,所以函数F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导 f(b)-f(a)=g(b)-g(a)得到:f(b)-g(b)=f(a)-g(a),即F(b)=F(a)由罗尔中值定理,至少存在一个ξ∈(a,b),使得F'(ξ)=0,即f'(ξ)-g'(ξ)=0,即f'(ξ)=g'(ξ)