线性代数 特征值和特征向量

Question

为什么这个式子展开后变成
？？？？？？
然后这个例子：

为什么这里可以得到三个特征值？

Answer 1

特征向量和特征值的定义就是：矩阵A乘以一个非零向量a，相当于一个数λ乘以这个向量a，于是这个数λ就是特征值（能代表矩阵A特点的数值），向量a就是特征向量。写成式子就是
Aa=λa
那你想想，移项过去以后Aa-λa=0，要把a用乘法分配律提出来，就变成(A-λE)a=0（E是单位矩阵）
那你现在的目的是要求λ和a，如果运用条件呢？首先这是个以a为未知数的齐次方程组（右边是0），a≠0，根据解的判别定理，齐次方程组有一个不为0的解，比如它的系数行列式为0才行，所以
|A-λE|=0，就是你问的第一个式子。
然后就算这个行列式的值来解出λ。行列式的结果是一个关于λ的3次方程，3次方程必然有3个解（这是代数基本定理），如果出现平方项，就看成两个一样的解，或者把这个特征值称为“二重的”（代数重数为2）。

我上面说的这些教材上肯定会写，楼主再去复习一下。有什么不懂的可以追问。追问

为什么展开后变成

？



追答

这个不就是定义吗？
A=(a11 a12...)那个矩阵，λE=对角线上都是λ，其他都是0的矩阵。两个矩阵的减法，就是对应元素分别相减，最后就是A矩阵每个对角线上都减去一个λ，其他都减去0，也就是不变，就是这个式子。

追问

我怎么没想到呢。。。。
北大的就是牛。。。。
谢谢。

追答

不客气……

Answer 2

里面就是矩阵的加减
A是一个矩阵，γE的单位矩阵的γ倍，当然就是这个结果了

特征值就是这么求的，以便满足 AK=γK

Answer 3

在已知方阵的情况下，先求特征值，再求对应的特征向量，这是没错的

Answer 4