二重积分其实找到规律非常容易在x轴上任取一点x,过该点作一条垂直于x轴的直线去穿区域,与D的边界曲线之交点不多于两个,即一进一出,此区域为X型区域。类似的,在y轴上任取一点y,过该点作一条垂直于y轴的直线去穿区域,与D的边界曲线之交点不多于两个,即一进一出,此区域为Y型区域。
二重积分X型区域
设积分区域是由两条直线x=a,x=b(a<b),两条曲线 围成。可以表示
的区域称为X型区域,如图。X型区域:
特点:穿过D内部且平行于y轴的直线,与D的边界交点数不多于两点。
如图,对任意取定的x0∈[a,b],过点(x0,0,0)作垂直于x轴的平面x=x0,该平面与曲顶柱体相交所得截面是以区间 为底,z=f(x0,y)为曲边的曲边梯形,由于x0的任意性,这一截面的面积为
,其中y是积分变量在积分过程中视x为常数。上述曲顶柱体可看成平行截面面积S(x)从a到b求定积分的体积,从而得到 [2] :
二重积分Y型区域
特点:穿过D内部且平行于x轴的直线,与D的边界交点数不多于两点。
称D为Y型区域,此时可采用先对x,后对y积分的积分次序,将二重定积分化为累次积分[2] :
扩展资料:
积分的线性性质
1、性质1 (积分可加性) 函数和(差)的二重积分等于各函数二重积分的和(差),即
2、性质2 (积分满足数乘) 被积函数的常系数因子可以提到积分号外, (k为常数) 比较性
3、性质3 如果在区域D上有f(x,y)≦g(x,y),则 估值性
4、性质4 设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区域D上的最大值和最小值,σ为区域D的面积,则
5、性质5 如果在有界闭区域D上f(x,y)=k(k为常数),σ为D的面积,则Sσ=k∫∫dσ=kσ。
二重积分中值定理
设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续,σ为区域的面积,则在D上至少存在一点(ξ,η),使得
参考资料:百度百科-二重积分