二重积分 X型区域和Y行区域如何选择？

Question

如题所述

Answer 1

二重积分其实找到规律非常容易在x轴上任取一点x，过该点作一条垂直于x轴的直线去穿区域，与D的边界曲线之交点不多于两个，即一进一出，此区域为X型区域。类似的，在y轴上任取一点y，过该点作一条垂直于y轴的直线去穿区域，与D的边界曲线之交点不多于两个，即一进一出，此区域为Y型区域。

二重积分X型区域

设积分区域是由两条直线x=a，x=b（a<b），两条曲线  围成。可以表示  的区域称为X型区域，如图。X型区域：

特点：穿过D内部且平行于y轴的直线，与D的边界交点数不多于两点。

如图，对任意取定的x0∈[a，b]，过点（x0，0，0）作垂直于x轴的平面x=x0，该平面与曲顶柱体相交所得截面是以区间  为底，z=f（x0，y)为曲边的曲边梯形，由于x0的任意性，这一截面的面积为  ，其中y是积分变量在积分过程中视x为常数。上述曲顶柱体可看成平行截面面积S（x）从a到b求定积分的体积，从而得到 [2]  ：

二重积分Y型区域

积分区域  称为Y型区域。

特点：穿过D内部且平行于x轴的直线，与D的边界交点数不多于两点。

称D为Y型区域，此时可采用先对x，后对y积分的积分次序，将二重定积分化为累次积分[2]  ：

扩展资料：

积分的线性性质

1、性质1 （积分可加性） 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即

2、性质2 （积分满足数乘） 被积函数的常系数因子可以提到积分号外，  (k为常数） 比较性

3、性质3 如果在区域D上有f(x,y)≦g(x,y)，则  估值性

4、性质4 设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区域D上的最大值和最小值，σ为区域D的面积，则 

5、性质5 如果在有界闭区域D上f(x,y)=k（k为常数)，σ为D的面积，则Sσ=k∫∫dσ=kσ。

二重积分中值定理

设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，σ为区域的面积，则在D上至少存在一点（ξ，η），使得 

参考资料：百度百科-二重积分