已知函数f(x)满足下列关系(1)f(x+π/2)=f(x-π/2)

Question

已知函数f(x)满足下列关系(1)f(x+π/2)=f(x-π/2) (2）当x∈（0，π]时 f（x）=-cosx
给出下列四个命题：
②函数f（x）为奇函数③函数f（x）的图象关于y轴对称
④方程f（x）=lg|x|的解的个数是8其中正确命题的序号是：

Answer 1

(1)f(x+π/2)=f(x-π/2)

将x换成x+π/2则

 ==>f(x+π)=f(x)

==>f(x)的周期为π

(2）当x∈（0，π]时， f（x）=-cosx

根据(1)(2)画出简图：

②函数f（x）为奇函数  【对】

③函数f（x）的图象关于y轴对称  【错】
④方程f（x）=lg|x|的解的个数是8  【对】

其中正确命题的序号是：②④

①没显示

追问

怎么看出函数f（x）为奇函数，怎样判断是不是函数f（x）为奇函数，方程f（x）=lg|x|的解的个数是8 个是怎么得出来的？怎么分析的

追答

（1)
不好意思，不是奇函数
x∈（0，π] 时 f（x）=-cosx

f(0)=f(π)=-cosπ=1
∵ f(-0)≠-f(0)
∴f(x)不是奇函数

(2)方程f（x）=lg|x|的解的个数是8 个

看图象，没别的方法。图要画准。
我给你的图中画了两个函数图像
y=f(x)和y=lg|x|图像，看交点个数是8个

只有④是对的

Answer 2

已知函数f(x)满足下列关系(1)f(x+π/2)=f(x-π/2) (2）当x∈（0，π]时 f（x）=-cosx
给出下列四个命题：
②函数f（x）为奇函数③函数f（x）的图象关于y轴对称
④方程f（x）=lg|x|的解的个数是8其中正确命题的序号是：
解析：∵函数f(x)满足下列关系(1)f(x+π/2)=f(x-π/2)
令x=x+π/2代入上式得f(x+π)=f(x)
∴函数f(x)以π为最小的正周期的周期函数
∵当x∈（0，π]时 f（x）=-cosx
∴当x∈（-π，0]时 f（x）=-cos(x+π)=cosx
显然，f(x)既不是奇函数，也不是偶函数
∴②，③错
∵y=lg|x|为偶函数
当x=±10时，y=1
当x<0时，单调减，当x>0时，单调增
∴x∈(-10,0)时，f(x)=lg|x|，有4个解
x∈(0,10)时，f(x)=lg|x|，有4个解
即解的个数是8
④正确