这道题确实很难,我也花了很长时间,如果是考试,确实没法做出来
经过一天思考,终于找到较为简洁的方法,需要做辅助线,如下图
过F做AD的平行线FG,交圆I于Y',G在BD上
(注意 必然有圆上的Y' 但视为不同 Y 的 点,后面才能证相重)
由于F和D是切点,有BF=BD
同时由于平行,有
FG/AD = BG/BD = BG/BF = DG/AF
将比例式换成乘法形式即 FG*AF=AD*DG
两边同时平方后有
FG^2 * AF^2 = AD^2 * DG^2 (1)式
根据圆外一点做任意线和圆相交定理,点和两交点距离的乘积恒为点到圆的切线长度平方
(1)式中 AF^2=AX*AD DG^2=GY'*FG
故(1)式化为FG^2 * AX * AD = AD^2 * GY' * FG (2)式
同时约去FG * AD 后 (2式化为)
FG * AX = AD * GY'
可将其表达成比例式 为 GY' / GF = AX / AD (3)式
以上(3)式含义 用文字表达为,
"过一个角内的内切圆的两个切点的两条平行线,交圆和另一边的交点,形成的长度比例相等"
当然要看到,绝对方向是相反的,而相对方向一样,都是从切点出发,先交圆,再交另一边
(3)式中由于本题条件中有AX=XD,故AX/AD=1/2
则GY'=FY'=GF/2
即Y'是FG的中点,而X是AD的中点
所以△ABC的中线BX,过Y'点,BY'是△FBG的中线,两线重合
由于题中既定条件 BX 交圆于Y,而且Y是除了X的唯一另外一个交点,所以Y就是Y'
(请联系回想 起做辅助线的约束条件,就包含 "Y'一定是交圆上的点" )
所以 FY(FY') // XD
同理可证EZ // XD (不在作图了,和上述过程类同)
因此FY//EZ
下面证明最后步骤:
证明方法(1),有点粗略,现成几何图形法,不知道老师允许不允许
根据平行线过圆的四个交点形成等腰梯形,可证明对角线相等 (可自行作图)
即FZ=EY
证明方法(2),几何严格推导法,用基本图形定理推导
做圆内任意弦(如FY)的中垂线必是直径,
且由于FY//EZ,此直径必然与EZ互相垂直
所以与直径相垂直的任意弦(如EZ),又必然被中分
所以此直径是圆I以及 F,Y,E,Z,四点的对称轴
轴对称的规律在于: 其中一边任何图形或延生(或反射)到另一边形成的图形 的所有 对应图形或延伸(或反射)的图形都完全一致,(包含角度,长度,面积等)
EY就是E延伸到对面的Y,对应Z延伸到本面的F
所以EY=FZ