二阶常系数非齐次线性微分方程通解是对应齐次方程通解与非齐次方程本身一个特解之和,为什么?

Question

如题所述

Answer 1

首先因为有(f+g)'=f'+g'
用微分算子表示，一个非齐次线性微分方程就是
P(D)y=f(x)
那么，设y=u+v，当uv分别满足
P(D)u=0
P(D)v=f(x)
时，将uv相加，得到P(D)y=f(x)，也就是原方程的解

Answer 2

有带常数c的就是其对应齐次方程的解，剩下的就是它的特解了，可根据给出的通解得到特征值，写出特征方程，再根据特解判断方程右边的形式。