如果k1α1+k2α2是A对应于
特征值λ的
特征向量 ,则A(k1α1+k2α2)=λ(k1α1+k2α2)。
又,A(k1α1+k2α2)=k1(Aα1)+k2(Aα2)=λ1k1α1+λ2k2α2。
所以,λ(k1α1+k2α2)=λ1k1α1+λ2k2α2,即k1(λ-λ1)α1+k2(λ-λ2)α2=0。
对应于不同特征值的特征向量是线性无关的,所以α1,α2线性无关。
所以,λ-λ1=λ-λ2=0。所以λ1=λ2,矛盾。
所以,α1与α2的线性组合k1α1+k2α2不再是A的特征向量。