收敛是指会聚于一点，向某一值靠近。如数列收敛，函数收敛的定义。
数列收敛
令{a n}为一个数列，且A为一个固定的实数，如果对于任意给出的b>0,存在一个正整数N，使得对于任意n>N,有|a n-A|<b恒成立，就称数列{a n}收敛于A（极限为A），即数列{a n}为收敛数列。
函数收敛
定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。
函数的有界性
设函数f(x)的定义域为D，f（x）集合D上有定义。
如果存在数K1，使得 f(x)≤K1对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有上界。
反之，如果存在数字K2，使得 f(x)≥K2对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有下界，而K2称为函数f(x)在D上的一个下界。
如果存在正数M，使得 |f(x)|≤M 对任意x∈D都成立，则称函数在X上有界。如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界；等价于，无论对于任何正数M，总存在x1属于X，使得|f(x1)|>M，那么函数f(x)在X上无界。
此外，函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界也有下界。
函数极限
设函数f(x）在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<∣x0-x∣<δ时，对应的函数值f(x）都满足不等式：
那么常数A就叫做函数f(x）当x－﹥x0时的极限。
函数有界，但不一定收敛。比如函数y=sinx此类的三角函数是发散的。
函数收敛，但不一定有界，比如函数y=1/n，n为自然数，y=1/n是无界的。
函数极限存在，根据单调有界准则，函数必定收敛。
函数极限存在，根据极限的有界性，函数必定有界。
函数有界，但不一定存在极限；根据单调有界准则，函数极限应存在上界和下界才能成立。此外函数有界有存在单侧有界的情况。
扩展资料:
函数极限存在准则
1、夹逼定理
当x0在δ的去心邻域时，有g（x）－﹥x0=A，h（x）－﹥x0=A成立，且∣a m-a n∣<ξ，那么，f(x)极限存在，且等于A。
2、单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。
在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。
一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ，并且要满足极限是趋于同一方向 ，从而证明或求得函数 的极限值。
3、柯西准则
数列收敛的充分必要条件是任给ε>0,存在N(ε),使得当n>N,m>N时，都有极限值为A成立。
参考资料来源：百度百科-函数极限
参考资料来源：百度百科-函数的有界性
参考资料来源：百度百科-收敛
单调有界必收敛
收敛必有界追问
那请问 （-1）^ n 有界但不收敛，它的界指的是什么呢，它是没有极限吗
追答
这个的界有两个既有下界又有上界
它没有极限
噢噢我好像有点理解了😊谢谢
追答能采纳吗
谢
本回答被提问者采纳收敛可以推出有界，但有界未必收敛
有界不一定有极限，但是单调有界必有极限
涵数【自变量在同一变化范围内】:(在这一范围内)有极限则有界;有界且有单调性则有极限.(在某一范围内)若极限为0则在这一范围内为无穷小;反之成立.(在某一范围内)若是无穷小则在这范围内有界;在某一范围内若有界且单调则有极限但不一定是无穷小本回答被网友采纳