函数有极限，有界，收敛三者是这样的关系？

Question

如题所述

Answer 1

首先，收敛和有极限是一个概念。
其次，函数收敛能推出它是局部有界的。【关于这个局部，如果已知的是x→x0时函数有极限，则这个局部是指x0的某个δ临域；如果已知的是x→∞时函数有极限，则这个局部指的是x>+∞或x<-∞】
但是有界不一定能推出收敛（有极限）【如函数F(x)=sinx,它是有界的，但当x→∞
时它并不收敛。】

综上，收敛<=>有极限
收敛=>有界

Answer 2

用反证法。若不然，则对任意实数m>0,总存在实数Xm>a,使得|f(Xm)|>m.可令m=1,2,3,...,则得一无穷数列{Xm}.(Xm>a).且有|f(Xm)|>m.(1)若数列{Xm}有界，则由维尔斯特拉斯定理知，数列{Xm}必有一子列{X"n}存在极限，可设limX"n=k,(n--->+∞,且k≥a).由题设，函数f(x)在点k处连续，必在包含点k的一个小区间内有界，且limf(x)=f(k).(x-->k).===>limf(X"n)=f(k).但由假设知，|f(X"n)|--->+∞,矛盾。（2）若数列{Xm}无界，则必有一子列{X"n},limX"n=+∞.且lim|f(X"n)|=+∞.这与limf(x)=A矛盾。原命题得证。本回答被提问者采纳