证明原函数和反函数单调性相同

Question

证明原函数和反函数单调性相同
题目：已知y=f(x)在[a,b]上是增函数，
求证y=f-1(x)在[f(a),f(b)]上是增函数
解题过程开头部分已给出：
任意取x1,x2∈[f(a),f（b)],则存在x'1,x'2 ∈[a，b],使得f(x'1)=x1,f(x'2)=x2
请帮我把这个题做完，谢谢！

Answer 1

【证明】：

任意取x1,x2∈[f(a),f（b)]且x1则存在x'1,x'2 ∈[a,b],使得f(x'1)=x1,f(x'2)=x2。因为f(x)在[a,b]内是增函数。所以函数值越大,自变量越大。反函数是对一个定函数做逆运算的函数。

一般来说，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1)(x) ，反函数x=f^(-1)(y)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具代表性的反函数是对数函数与指数函数。

Answer 2

【证明】
任意取x1,x2∈[f(a),f（b)]且x1<x2
则存在x'1,x'2 ∈[a，b]，使得f(x'1)=x1，f(x'2)=x2
因为f(x)在[a,b]内是增函数
所以函数值越大，自变量越大
由x1<x2可得，x'1<x'2，x1'-x2'<0
又由反函数的性质可知，f-1(x1)=x1'，f-1(x2)=x2'
所以f-1(x1)-f-1(x2)=x1'-x2'<0
f-1(x1)<f-1(x2)
所以函数f-1(x)在[f(a),f(b)]内也是增函数本回答被提问者采纳

Answer 3

楼上的证明不是很严格,因该要用反证法.
f(x)是增
如果存在x1,x2 x1<=x2 且x1'>x2
则存在x1'>x2',f(x1')<=f(x2') 这与f(x)是增函数是矛盾的.
因此对任意的x1<=x2 必然有 x1'<=x2'即f-1为增函数

Answer 4

【证明】
任意取x1,x2∈[f(a),f（b)]且x1<x2
则存在x'1,x'2
∈[a，b]，使得f(x'1)=x1，f(x'2)=x2
因为f(x)在[a,b]内是增函数
所以函数值越大，自变量越大
由x1<x2可得，x'1<x'2，x1'-x2'<0
又由反函数的性质可知，f-1(x1)=x1'，f-1(x2)=x2'
所以f-1(x1)-f-1(x2)=x1'-x2'<0
f-1(x1)<f-1(x2)
所以函数f-1(x)在[f(a),f(b)]内也是增函数