证明原函数和反函数单调性相同

Question

如题所述

Answer 1

若原函数是单调递增（也可以递减），定义域任取m >n 则f（m）>f （n）。 而反函数是以f（m） f（n） 为自变量，以m n为因变量，所以对于定义域内任意f（m）>f（n）都有m>n

Answer 2

【证明】
任意取x1,x2∈[f(a),f（b)]且x1<x2
则存在x'1,x'2 ∈[a，b]，使得f(x'1)=x1，f(x'2)=x2
因为f(x)在[a,b]内是增函数
所以函数值越大，自变量越大
由x1<x2可得，x'1<x'2，x1'-x2'<0
又由反函数的性质可知，f-1(x1)=x1'，f-1(x2)=x2'
所以f-1(x1)-f-1(x2)=x1'-x2'<0
f-1(x1)<f-1(x2)
所以函数f-1(x)在[f(a),f(b)]内也是增函数本回答被网友采纳

Answer 3

楼上的证明不是很严格,因该要用反证法.
f(x)是增
如果存在x1,x2
x1<=x2
且x1'>x2
则存在x1'>x2',f(x1')<=f(x2')
这与f(x)是增函数是矛盾的.
因此对任意的x1<=x2
必然有
x1'<=x2'即f-1为增函数

Answer 4

【证明】
任意取x1,x2∈[f(a),f（b)]且x1<x2
则存在x'1,x'2
∈[a，b]，使得f(x'1)=x1，f(x'2)=x2
因为f(x)在[a,b]内是增函数
所以函数值越大，自变量越大
由x1<x2可得，x'1<x'2，x1'-x2'<0
又由反函数的性质可知，f-1(x1)=x1'，f-1(x2)=x2'
所以f-1(x1)-f-1(x2)=x1'-x2'<0
f-1(x1)<f-1(x2)
所以函数f-1(x)在[f(a),f(b)]内也是增函数