数列{an} 的聚点

Question

书上有一道题目是：若数列{an}单调，且有聚点。证明其聚点唯一，数列{an}有界。

我问题不是要证明这个题目！
问题：1）若数列{an}有聚点，能否理解为这个聚点就是数列an的极限？既然是极限当然就唯一了，“单调”这个条件是针对后面证明有界而言的。我的理解不知道对不对？
现在问题是如何证明:若数列{an}有聚点，这个聚点就是数列an的极限存？

Answer 1

数列 1 0 1 0 1 0 ...
有两个聚点1，0但没有极限。
所以聚点不是数列的极限
极限唯一是对的
单调”这个条件是针对后面证明有界而言的，这个论断不对。就像刚才举的例子，它不单调，是震荡的，没有极限。单调有界必有极限 实际上是个公理，有它才能保证实数的连续性。

Answer 2

你的理解正确。当然这是我个人观点仅供参考。