特征方程是把递推式中的 an+1 an,an-1 这些数列变量项，全都换成X，得到的一元方程，
特征方程的解就是判断数列通项形式的依据。
特征方程法只能求三种递推，常系数一阶线性， 常系数二阶性，和常数数分式式递推。 其它的类型我还没见过。
至于上述三类的具体式子和处理情形，我就不打字了，楼主百度搜索一下“不动点法求递推”一搜一大堆。
在高考中一般都不会出这种常见的题目，所以在解决递推式的处理上，
一般都是通过f(an,an+1)=0转化变形成一种双层复合形式：
即把递推式变形为以下形式：
g(an+1,n+1)=g(an,n)+d
g(an+1,n+1)=g(an, n)q
g(an+1,n+1)=q g(an, n)+d
.....
这样把g(an,n)这一个整体的通项表达式g(an,n)=h(n）写出来，然后再通项解关于an的方程得到an的通项。。
上面这种转化，才是真正具有统一通用的递推处理方法。
而对于特征方程法（不动点法）虽然是一个偷懒方法，但它只能解决特定的递推式求通项。对于高考，命题人不是傻子，不会拿平时常见的这种类型出题的。所以不要把不动点法当成总靠山，而是用来开阔思维和视野。
特征方程法不是解决长远递推问题的方法，要学好递推，由其是“非线性”递推，我们必须要学会把数列递推式，整理变形成上述几种每个an项都复合了同一种g()法则的形式。经过我的大量题目的总结，高中无论是高考，还是竟赛，只有简单的数列才能使用那些特殊的解法，而对于那些并不简单的题，用特殊方法解决不了，最后肯定都归到我上述所述的方法上。这个方法我个人把它称为“复合转化法”。
楼主看一下09年的高考数列的那一道题，就是使用的这种解法。
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这个要看楼主是什么目的，如果是为了希望杯，那么很多竞赛基本上都是要考查你的数学配算变形能力，肯定还是转化成上面我说的三种框架形式。这个只要多多练题，熟了也就会了。你现在急，是因为做的太少，变形的经验少。
如果楼主是为了高考，那么建议楼主多看看近几年高考中数列题目的出题规律：有递推，肯定都是简单的变形，最后都是我说的要化成上面三种框架形式，因为数列问题，线性递推都有统一性的规律可言。但是对于非线性递推，各式各样的运算很多，目前据我个人研究，还没有一种统一通用的思想和规律。只能是上面我所说的，变形成三种形式。在高考中，出现递推，不可能会出现很变态的无法用复合转化的非线性的递推式。如果它出了，就是超出考纲了。！！！！
比如我说的09年的高考那道递推题就很简单，一步移项就能变形成f(an+1,n)=f(an,n)+g(n)的形式，然后使用变系数的线性递推方法。而且不得不提的是：这道题第一小问，就是指定性的问题：证明g(an,n)是一个等差数列，这是在间接引路，这就是已经告诉你变形的方法了，只要你心中有复合变形的处理思想，很容易就解出的。（本来这道题可以再难一点，根本不需要第一问，直接就求第二问。但是就算没有第一问，用肉眼一看也一下子就能变形出。）
此外，即便高考试卷的命题人，我想他们也明白：非线性递推只能用数学运算变形，除之之外没有其它的统一规律了。所以那些高考命题人，对非线递推也没有多深的造诣，他们对这块领域有着一种“畏惧”。
对于非常复杂的非性系递推，连那些高考命题人都没有搞清楚，楼主这么其人忧天干什么？？？？
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