已知定义在R上的函数f(x)为奇函数,且y=f(x+1)为偶函数,f(1)=1

Question

已知定义在R上的函数f(x)为奇函数,且y=f(x+1)为偶函数,f(1)=1，则f（3）+f（4）=？

Answer 1

f(x+1)为偶函数，则
f(-x+1)=f(x+1)，
即f(x)=f(2-x)，（换元可得）
又f(x)为奇函数，则
f(-x)+f(x)=0，f(0)=0，
f(x)=f(2-x)=-f(x-2)=-f(4-x)=f(x-4)，
所以f(x)是周期为4的周期函数。
f(3)=f(-1)=-f(1)=-1
f(4)=f(0)=0
f(3)+f(4)=-1

Answer 2

函数f(x)为奇函数 f(x)=-f(-x)，y=f(x+1)为偶函数 f(x+1)=f(-x+1)
则f[(x+1)+1]=f[-(x+1)+1]=f(-x)=-f(x)=-f(x)
f(x)=f[(x-1)+1]=f[-(x-1)+1]=f(-x+2)=-f(x-2)
所以-f(x-2)=-[-f(x)]=-f[(x+1)+1]=-f(x+2)
所以f(x-2)=f(x+2）
则f(x)=f(x+4)，所以周期T=4
f（3）=f（-1）=-f（1）
f（4）=f（0）
定义在R上的函数f(x)为奇函数 所以f(0)=0
f（3）+f（4）=-1+0=-1