如何求非齐次微分方程的通解？

Question

如题所述

Answer 1

(1) 首先求齐次微分方程y’‘+3y’+2y=0的通解：
特征方程为r^2+3r+2=0，解得r1=-1，r2=-2，因此齐次微分方程的通解为y_h=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}(C_1、C_2为任意常数)
接下来求非齐次微分方程y’‘+3y’+2y=3x+1的特解：
假设特解为y_p=Ax+B，代入原方程得2A+3A+2Ax+2B=3x+1
比较同次幂的系数得到2A+3B=1，2A=3，解得A=3/2，B=-5/4
因此，该非齐次微分方程的通解为y=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}+3/2x-5/4
(2) 首先求齐次微分方程y’‘+y’=0的通解：
特征方程为r^2+r=0，解得r1=0，r2=-1，因此齐次微分方程的通解为y_h=C_1+C_2e^{-x} (C_1、C_2为任意常数)
接下来求非齐次微分方程y’‘-5y’+y’=x的特解：
首先求齐次微分方程y’‘-5y’+y’=0的通解：
特征方程为r^2-5r+1=0，解得r1=(5+√21)/2，r2=(5-√21)/2，因此齐次微分方程的通解为y_h=C_1e^{(5+√21)x/2}+C_2e^{(5-√21)x/2}(C_1、C_2为任意常数)
由于非齐次项为一次函数，我们猜测其特解为y_p=Ax+B，代入原方程得到A+Bx-5Ax+2A=12x/(21-√21)
比较同次幂的系数得到-A+2A=12/(21-√21)，1-5A+B=0，解得A=12/(21-√21)/3，B=5A-1=-(11+√21)/(21-√21)
因此，该非齐次微分方程的通解为y=C_1+C_2e^{-x}+12/(21-√21)x-(11+√21)/(21-√21)