已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时，f(x)=(1/2)x,则使f(x）=-1/2的x为

Question

如题所述

Answer 1

解：条件中F(X+2)=-F(X),可得周期为4
0到1之间存在x=1时F(X)=1/2
由于F(X)是奇函数，x=-1时F(X)=-1/2
周期为4
故x=-1+4n
因为f(x+2)=-f(x),
所以
f(4n-1)=f[2(2n-1)-
1
+
2]=
-
f[2(2n-1)-
1]
=
-
f[2(2n-2)-
1
+2]=
(-1)^2
*f[2(2n-2)-
1]=.....
=(-1)^2n
*
f[2(2n-2n)-
1]
=
f(-1)
{函数f(x)是定义在R上的奇函数}
=
-
f(1)
=
-1/2
*
1
=
-1/2
f(x+2)=-f(x)=-[-f(x-2)]=f(x-2)
即f(x+4)=f(x)
x∈[-1,0]时，-x∈[0,1],f(-x)=1/2*(-x)
故f(x)=-f(-x)=1/2*x,
x∈[-1,0]
所以x∈[-1,1],f(x)=(1/2)x
x∈[1,3]时，(x-2)∈[-1,1],f(x-2)=(1/2)(x-2)
故f(x)=-f(x-2)=-(1/2)(x-2),x∈[1,3]
现在得到了一个周期里的函数
区间[-1,3]上,f(-1)=-1/2,f(3)=-1/2,仅此两点
故可得通式x=4n-1
因为f(x+2)=-f(x)
所以-f(x+2)=f(x)
f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x)
所以4是这个函数的周期
0<=x<=1
f(x)=(1/2)x
则-1<=x<=0时，0<=-x<=1
所以f(-x)=-(1/2)x
是一个奇函数
f(-x)=-f(x)=-(1/2)x
f(x)=(1/2)x
即-1<=x<=1,f(x)=(1/2)x
f(x)=(1/2)x=-1/2
x=-1
因为4是函数的周期
所以f(4n-1)=f(-1)=-1/2
所以x=4n-1
选D

Answer 2

f(x+2)=-f(x)=-[-f(x-2)]=f(x-2)
即f(x+4)=f(x)
x∈[-1,0]时，-x∈[0,1],f(-x)=1/2*(-x)
故f(x)=-f(-x)=1/2*x,
x∈[-1,0]
所以x∈[-1,1],f(x)=(1/2)x
x∈[1,3]时，(x-2)∈[-1,1],f(x-2)=(1/2)(x-2)
故f(x)=-f(x-2)=-(1/2)(x-2),x∈[1,3]
现在得到了一个周期里的函数
区间[-1,3]上,f(-1)=-1/2,f(3)=-1/2,仅此两点
故可得通式x=4n-1

Answer 3

f(x+2)=-f(x)
所以-f(x+2)=f(x)
f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x)
所以4是函数的周期
0<=x<=1
f(x)=(1/2)x
则-1<=x<=0时，0<=-x<=1
所以f(-x)=-(1/2)x
奇函数
f(-x)=-f(x)=-(1/2)x
f(x)=(1/2)x
即-1<=x<=1,f(x)=(1/2)x
f(x)=(1/2)x=-1/2
x=-1
因为4是函数的周期
所以f(4n-1)=f(-1)=-1/2
所以x=4n-1
选D

Answer 4

⑴∵x∈[-1,0）
∴-x∈（0,1]
∵f（x）是定义在r上的奇函数
∴f(-x)=-f（x）
∴当-1≤x＜0时，
f（x）=-f（-x）=-[3^（-x）+2]
⑵由f（x+2）=-f（x）知，函数f（x）的周期是4
log3(54)-4∈[-1,0)
∵3=log3（27）

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