已知 x3+y3=2,求证:x+y<=2

Question

如题所述

Answer 1

证明：
(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3
利用已有条件：x^3+y^3=2
所以(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=2+3x^2+3xy^2=2+3xy(x+y)
由均值不等式xy<=[(x+y)/2]^2=(x+y)^2/4
于是有(x+y)^3=2+3xy(x+y)<=2+3(x+y)^3/4
上式即(x+y)^3/4<=2
也即(x+y)^3<=8
显然x+y<=2

证毕。。

Answer 2

3x+3y=2，同除3
x+y=3分之2

Answer 3

要证x+y>=2,只需证x>=2-y，即x3>=（2-y）3,即2-y3>=(2-y)3
整理得y2-2y+1>=0 (y-1)2>=0,证毕

Answer 4

因为3x+3y=2, 所以x+y=2/3（等式两边同时除以3）
又因为x+y<=2,所以先把2/3与2通分，可得2/3与6/3,2/3<6/3,即2/3<2
由x+y=2/3,得出x+y<=2