高数一道微分方程，有图有答案，求大神指点

Question

请问为什么不能像红线那样反推呢

Answer 1

y=f（x），y是x的函数，又不是常数

此题y可以用公式法求

Answer 2

那样所谓“反推”， 是将 y 默认为常数了， 但 y 是 x 的函数 y(x)。
正确解法 ： y' = 2x+y, 得 y'-y = 2x 是一阶线性微分方程， 通解是
y = e^(∫dx)[∫2xe^(-∫dx)dx+C] = e^x[2∫xe^(-x)dx+C]
= e^x[-2∫xde^(-x)+C] = e^x[-2xe^(-x)+2∫e^(-x)dx+C]
= e^x[-2xe^(-x)-2e^(-x)+C] = -2x-2+Ce^x
(0, 1) 代入得 1 = -2+C ， C = 3， 则 y = -2x-2+3e^x

Answer 3

dy/dx = 2x+y

dy/dx -y = 2x
e^(-x).[dy/dx -y] = 2x.e^(-x)
d/dx { e^(-x). y } =2x.e^(-x)
e^(-x). y =∫2x.e^(-x) dx
=-2∫x de^(-x)
=-2x.e^(-x) +2∫e^(-x) dx
=-2x.e^(-x) -2e^(-x) +C
y =-2x -2 +C.e^x
(0,1)
=>
1=-2+C
C=3
ie
y =-2x -2 +3e^x