如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的圆O交AB于点D,交BC于点E.(1)求证:BE=CE;(2)若BD=2,BE=3,求AC的长。

Question

如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的圆O交AB于点D,交BC于点E.(1)求证:BE=CE;(2)若BD=2,BE=3,求AC的长。

Answer 1

解题过程：
（1）由于圆交BC于E，∴E点在圆上，
∴∠AEC=90° 且 AB=AC
根据等腰三角形三线合一定理∴BE=CE
（2）由于BE=3，故BC=6
则CD²=BC²-BD²=36-4=32
设AC=x，则AD=AB-BD=AC-BD=x-2
由题意得：AC²=AD²+CD²
所以x²=(x-2)²+32
解得：x=9
所以 AC=9

Answer 2

（1）

AC是直径，圆交BC于E，∴E点在圆上，∴∠AEC=90°

AB=AC，

∴BE=CE （等腰三角形三线合一）

（2）BE=3，∴BC=6

CD²=BC²-BD²=36-4=32

设AC=x，则AD=AB-BD=AC-BD=x-2

AC²=AD²+CD²

x²=(x-2)²+32

x=9

AC=9

追问

第2小题要用△BED相似△BAC，并且连接DE

追答

抱歉，我没有看出题目中有这样的要求。
另外，有简单的办法不用，非要绕弯，是什么道理？
你不可能没学过勾股定理。
连接DE，∵∠DAE=∠CAE
∴DE弧=CE弧
∴DE=CE=AE
∴∠EDB=∠B
所以相似。。。所以 AC：BC=BE：BD
所以。。。。。。
麻烦！

追问

这个是相似单元里的

这个是相似单元里的

追答

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Answer 3

知道割线定理吗？
第二问有更简单的办法：
根据割线定理，有：
BD*AB=BE*BC
已知，BD=2，BE=3，
由第一问可知，EC=BE=3，所以，BC=6
所以，AB=BE*BC/BD=9
已知，AC=AB，所以，AC=9追问

没学过割线定理；

第2小题要用△BED相似△BAC，并且连接DE。

Answer 4

解：（1）证明：连接AD
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠AEB=90°
∵AB=AC
∴DC=DB
∵OA=OB
∴OD//AC
∴∠OFB=∠AEB=90°
∴OD⊥BE
（2）解：设AE=x，由（1）可得∠1=∠2，
∴BD=ED=，
∵OD⊥EB
∴OF=AE=x
DF=OD-OF=-x
在Rt△DFB中，BF2=DB2-DF2=，
在Rt△OFB中，BF2=OB2-OF2=
∴，
解得x=，即AE=。