柯西不等式的证明方法

Question

如题所述

Answer 1

柯西不等式的证明方法具体如下可供参考：

一、证明方法

1、A=a1²+a2²+…+an²,B=b1²+b2²+…+bn²,C=a1b1+a2b2+…+anbn作函数f（x）=Ax²+2Cx+B，如果能证明函数f（x）恒大于等于0,即f（x）的判别式Δ≤0,就得到4C²≤4AB,即柯西不等式得证。

2、f（x）=（a1²x²+2a1b1x+b1²）+（a2²x²+2a2b2x+b2²）+…+（an²x²+2anbnx+bn²）=（a1x+b1）²+（a2x+b2）²+……+（anx+bn）²≥0。

3、取“=”的条件：a1=a2=……=an=0,或b1=b2=……=bn=0；或存在常数x使aix+bi=0,i=1,2,……,n。

二、柯西不等式

1、柯西不等式，是数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。从历史的角度讲，柯西不等式应称作Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式（柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式）。

2、因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之。才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

三、柯西

1、柯西（Cauchy Augustin-Louis，1789－1857），法国数学家，1789年8月21日生于巴黎，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职。由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。

2、他在纯数学和应用数学的功底是相当深厚的，很多数学的定理、公式都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式。在数学写作上，他被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书。