线性代数特征多项式化简后为什么中有一行全是0？

Question

如题所述

Answer 1

我猜你想问的是求特征向量时，系数矩阵有一行都是0吧。首先根据特征多项式解出特征值λ，把λ代入(λE－A)x＝0，这是一个齐次线性方程组，我们知道特征向量是非零向量，而齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵(λE－A)是不可逆的，也就是它的行列式＝0，也说明这个矩阵不是满秩，

条件

证明

那么你在用初等行变换时，一定至少有一行全部都是0。根据系数矩阵的秩，还可以知道有几个线性无关的非零向量，因为基础解系里的解向量都是线性无关的，所以基础解系有几个解向量就有几个特征向量。