线性代数行列式证明

Question

证明

1+a1 1 1 ... 1
1 1+a2 1 ... 1
1 1 1+a3 ... 1
......................
1 1 1 ... 1+an

=a1a2...an(1+1\ai) (i从1到n ,1\ai的和）

Answer 1

经典老题。
我写一些步骤，一看就明白的。

***************************************************
（1）从第二行开始，各行都减去第一行

1+a1 1 1 ... 1
-a1 a2 0 ... 0
-a1 0 a3 ... 0
......................
-a1 0 0 ... an

（2）第二行除以a2，第三行除以a3...第n行除以an,因此外围提出一个(a2a3...an)

1+a1 1 1 ... 1
-a1/a2 1 0 ... 0
-a1/a3 0 1 ... 0
......................
-a1/an 0 0 ... 1

*(a2a3...an)

（3）第一行减去下面各行

M 0 0 ... 0
-a1/a2 1 0 ... 0
-a1/a3 0 1 ... 0
......................
-a1/an 0 0 ... 1

*（a2a3...an）

其中M位置上就是：(1+a1)+a1/a2+a1/a3+...+a1/an

（4）原式=M*（a2a3...an）
=a1a2...an(1+1\ai) (i从1到n ,1\ai的和）

Answer 2

第一步 (n-1)行的-1倍加到第n行，第（n-2)行的-1倍加到第n-1行，依次类推，到第一行的-1倍加到第二行，行列式变为
1+a1 1 .... 1
-a1 a2 0... 0
0 -a2 a3.. 0
............
0 .....-a(n-1),an
然后将第n列*{a(n-1）/an},加到第n-1列，然后在将第n-1列*{a(n-2)/a(n-1)}
在加到n-2列，依次类推，最后将第二列*{a1/a2}加到第一列，整个行列式变为下三角行，在把结果化简一下即可

Answer 3

这是一道可化为箭型行列式的典型题。点击下面的图，我用WORD做了它的完整的过程，希望对你有启发。

Answer 4

1+a1 1 1 ... 1
1 1+a2 1 ... 1
1 1 1+a3 ... 1
......................
1 1 1 ... 1+an

＝
1 0 0 0 0 0 ....0
1 1+a1 1 1 ... 1
1 1 1+a2 1 ... 1
1 1 1 1+a3 ... 1
1 ......................
1 1 1 1 ... 1+an
=
1 -1 -1 -1 ....-1
1 a1 0 0 ... 0
1 0 a2 0 ... 0
1 0 0 a3 ... 0
1 ......................
1 0 0 0 ... an
=
[1-(1/a1)-(1/a2)-..-(1/an)] -1 -1 -1 ....-1
0 a1 0 0 ... 0
0 0 a2 0 ... 0
0 0 0 a3 ... 0
0 ......................
0 0 0 0 ... an