全微分方程求通解y”+y＝e∧x求详细过程

Question

为什么不猜测非齐的特解为Ae∧2呢 还有α为1 β为什么？

Answer 1

非齐次右侧型如e^(入x)*m次多项式则
特解设为
e^(入x)*m次多项式*x^n
其中n为特征方程的n重根
此题入=1,m=0,n=O，
所以特解为
e^(x)*c*x^0=ce^x
带入原方程可求出特解
望采纳追答

追问

请问下 书上的答案不是这样算的好像 书上貌似是用二形算的通解

Answer 2

你好，这不是猜的啊，这是根据齐次方程的解来判断的，这道题是正负i，有三角函数的就看右边有没有与其相同的，比如右边是sinx，和左边的特征根是一样的，这样前面就应该加一个x

Answer 3

① 因为把 y＝Ae² 代入原方程易见其不满足方程；
② 由 cosβx＋sinβx≡1 得 β＝0；
③ 求原方程通解的详细过程如下：
原方程的特征方程为 r²＋1＝0，
解得特征根为 r＝±i，
所以原方程对应的齐次方程的通解为
Y＝C₁cosx＋C₂sinx，
设原方程的一个特解为 y*＝Aeˣ，
则 y*"＝Aeˣ，
代入原方程得
Aeˣ＋Aeˣ＝eˣ，A＋A＝1，A＝1/2，
所以 y*＝eˣ/2，
所以原方程的通解为
y＝C₁cosx＋C₂sinx＋eˣ/2 .