微分方程题目 求解！

Question

照片里放空的那三题 实在不会做 求详细解答谢谢！

Answer 1

1.(2)y'=cosx/y,
ydy=cosxdx,
积分得y^2/2=sinx+c,
y(0)=1,
所以c=1/2,
所以y^2=2sinx+1,
y=土√(2sinx+1).
2.由dy/dx+2y/x=0,得dy/y=-2dx/x,
积分得lny=-2lnx+lnc,
所以y=c/x^2,
设y=c(x)/x^2是dy/dx+2y/x=sinx/x^2①的解，则
dy/dx=c'(x)/x^2-2c(x)/x^3,
代入①，得c'(x)/x^2-2c(x)/x^3+2c(x)/x^3=sinx/x^2,
化简得c'(x)=sinx,
所以c(x)=-cosx+c,
所以①的通解是y=(c-cosx)/x^2.
3.设y'=p(y),则y''=pp'(y),代入原方程得
ypp'(y)=p^2,
分离变量得dp/p=dy/y,
积分得lnp=lny+lnc,
所以p=cy,
y(0)=1,y'(0)=1,

所以p(1)=1,c=1.
所以y'=p=y,
dy/y=dx,
lny=x+lnc1,
所以y=c1e^x,
y(0)=1,
所以c1=1,
所以y=e^x,为所求。