线性代数 的证明题

Question

怎么证明

Answer 1

(1)如果x=(x1,x2,...,xn)^T是列向量,x1,x2,...,xn是它的分量,则
x^Tx=(x1)^2+(x2)^2+...+(xn)^2=0,故得
x1=x2=..=xn=0,x=0.
(2)如果x=(x1,x2,...,xn)是矩阵,x1,x2,...,xn是它的列,则
由x^Tx=O,下面矩阵是零矩阵
x1^Tx1,x1^Tx2,...,x1^Txn
x2^Tx1,x2^Tx2,...,x2^Txn
....
xn^Tx1,xn^Tx2,...,xn^Txn
故x1^Tx1=x2^Tx2=...=xn^Txn=0,由(1)可知x的所有列向量
x1=x2=...=xn=0
故得x=0.

Answer 2

x=PAQ 其中 A是对角阵，PT=Q^-1
所以xTx=PATAQ=0
所以xTx的特征值均为0
所以x的特征值也全部是0
所以x=PAQ=Pdiag{0,0,...,0}Q=0