AB的秩为什么大于等于B的秩？？？求解。考研数学

Question

如题所述

Answer 1

AB的秩永远小于等于A的秩和B的秩两者的最小值。

秩是线性代数术语。在线性代数中，一个矩阵的秩是其非零子式的最高阶数，一个向量组的秩则是其最大无关组所含的向量个数。

在解析几何中，矩阵的秩可用来判断空间中两直线、两平面及直线和平面之间的关系。

在控制论中，矩阵的秩可以用来确定线性系统是否为可控制的（或可观察的）。

重要定理

·每一个线性空间都有一个基。

·对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。

·矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。

·矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。

·矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。

·矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。

·解线性方程组的克拉默法则。

·判断线性方程组有无非零实根的增广矩阵和系数矩阵的关系。

Answer 2

很简单的问题。你说的应该是AB的秩为什么小于B的秩吧。题目你再仔细看看。
如果说令AB=C。那么说B经过线性变换以后可以得到C，也就是说B可以表示出C。那么B的秩应该不小于C的秩。因为只能是秩高的矩阵能够表示出秩低的矩阵。如此理解。
请采纳答案，不明白随时追问。谢谢合作。

Answer 3

题目错误！应该是：AB 的秩小于等于 B 的秩。举例即可：
设 A = O， B = E， 则 AB = O， r(AB) = 0, r(E) = n, r(AB) < r(E) ;
设 A = -E， B = E，则 AB = -E， r(AB) = n, r(E) = n, r(AB) = r(E)。

Answer 4

若BX=0 则ABX=0 所以r(AB)小于等于r(B)

Answer 5

B,可逆
AB是B右乘A,左乘行变，右乘列变，初等行列改变不改变矩阵的秩