已知正四棱锥底面边长为2，侧棱长为√5，求底面与侧面所成二面角

Question

顺便再问一个：若A、B两点的坐标分别是A(3cosθ，3sinθ，1)，B(2cosα，2sinα，1)，则|向量AB|的取值范围是？

Answer 1

解析：

1、如图示，

取AC中点E、BD中点F，连接PE、PF、EF，

∵是正四棱锥，  

∴PA=PB=PC=PD，

∵E、F分别是AC、BD中点，

∴PE⊥AC，PF⊥BD，

且 有 EF‖AB‖CD，EF=AB=CD=2，

∴EF⊥AC，

由二面角定义可知，∠PEF大小即为底面与侧面所成二面角的大小。

∵在△PAC中，PA=PC=√5，AC=2，

∴PE=2，

∴PF=PE=2，

又∵EF=2，

∴在△PEF中，有PE=PF=EF，

∴∠PEF=60°，

即 底面与侧面形成的二面角的大小为60°。

2、向量AB=(2cosα，2sinα，1)-(3cosθ，3sinθ，1)

=(2cosα-3cosθ，2sinα-3sinθ，0)

∴| 向量AB | = √(2cosα-3cosθ)²+(2sinα-3sinθ)²+(0)²

=√[ (4cos²α+9cos²θ-12cosαcosθ)+(4sin²α+9sin²θ-12sinαsinθ) ]

=√ [ 4+9-12(cosαcosθ+sinαsinθ) ]

=√ [ 13-12cos(α-θ) ]

∵cos(α-θ)的范围是 [-1，1]

∴12cos(α-θ)的范围是 [-12,12]

∴13-12cos(α-θ) 的范围是 [1，25]

∴√ [ 13-12cos(α-θ) ]的范围是 [1，5]

即  | 向量AB | 的取值范围是  [1，5] 。

希望可以帮到你、

Answer 2

正四棱锥，故底面是正方形，侧面为4个全等的等腰三角形且有公共顶点，顶点在底面的投影是底面的中心。
所以以底面中心o为坐标原点，OA为X轴，OB为Y轴，OP为Z轴，建立空间直角坐标系。
用坐标方法求得底面和侧面的法向量，在求的两面夹角的cos值，很简单，自己动手算一下，印象深刻。

2向量AB=(2cosα，2sinα，1)-(3cosθ，3sinθ，1)
=(2cosα-3cosθ，2sinα-3sinθ，0)
∴| 向量AB | = √(2cosα-3cosθ)2+(2sinα-3sinθ)2+(0)2
=√[ (4cos2α+9cos2θ-12cosαcosθ)+(4sin2α+9sin2θ-12sinαsinθ) ]
=√ [ 4+9-12(cosαcosθ+sinαsinθ) ]
=√ [ 13-12cos(α-θ) ]
∵cos(α-θ)的范围是 [-1，1]
∴12cos(α-θ)的范围是 [-12,12]
∴13-12cos(α-θ) 的范围是 [1，25]
∴√ [ 13-12cos(α-θ) ]的范围是 [1，5]
即 | 向量AB | 的取值范围是 [1，5] 。

希望可以帮到你