不等式证明题求解

Question

证明当x>0时,(x^2-1)Inx>=(x-1)^2

Answer 1

当x=1时，左边=0=右边。
当0<x<1时假设,(x^2-1)Inx>=(x-1)^2则,(x+1)Inx<=(x-1)令f(x)=(x+1)Inx-(x-1)
则f'(x)=Inx+1/x在令g(x)=Inx+1/x则g'(x)=1/x-1/x^2=(x-1)/x^2<0
所以g(x)在0<x<1内是减函数，即g(x)>g(1)=1,f'(x)>1>0
所以f(x)在0<x<1内是增函数即f(x)<f(1)=0即(x+1)Inx-(x-1)<0,
所以(x+1)Inx<=(x-1)即(x^2-1)Inx>=(x-1)^2
当x>1时要证(x^2-1)Inx>=(x-1)^2即证(x+1)Inx>=(x-1)
同理：令F(x)=(x+1)Inx-(x-1)
则由上可得F'(x)=Inx+1/x>0所以F(x)在x>1内是增函数即F(x)>F(1)=0,(x+1)Inx>(x-1)成立。
即(x^2-1)Inx>=(x-1)^2
综合可得当x>0时,(x^2-1)Inx>=(x-1)^2

Answer 2

徐桓，你好：
楼上的解答实在太繁琐了，根据你这个题，应该是高二，高三或大学的水平，必然要用到导数的知识。可以直接构造：
f(x)=(x^2-1)Inx-(x-1)^2,，则f'(x)=2x *lnx+(x^2-1)/x+2(x-1)，当x>1，时，f(x)'>0,而f(1)=0,故当x>1时，f(x)>0,当0<x<1时，f'(x)=[2x^2lnx+3x^3-2x-1]/x, 因为x>0,我们只讨论f'(x)分子的符号，构造g(x)=2x^2lnx+3x^3-2x-1,x>0, g'(x)=4xlnx+9x^2+2x-2,令g'(x)=0,解得 x=1，唯一零点。在x>0且x≠1时，g(x)<0,故当0<x<1时，f'(x)=[2x^2lnx+3x^3-2x-1]/x<0,也即原函数f(x)在x=1处取最小值为0.综上 f(x)>=0,即当x>0时,(x^2-1)Inx>=(x-1)^2,等号当x=1时取得。