y1=xe^x+e^2x,y2=e^-x+xe^x y3=e^2x-e^-x+xe^x 是某二阶常系数非奇次线性微分方程的三个解求微分方程

Question

y1=xe^x+e^2x, y2=e^（-x）+xe^x y3=e^2x -e^（-x）+xe^x 是某二阶常系数非奇次线性微分方程的三个解求微分方程

Answer 1

首先考虑这个问题，一个二阶常系数非齐次线性微分方程的解是相应的齐次微分方程的通解加上原方程的一个特解。从而，这三个解中任意两个解的差都是原来的齐次微分方程的通解。显然可以得到e^2x和e^-x是原方程的通解，从而对应的齐次方程是y''+y'-y=0.同时xe^x是原方程的一个特解，带入这个齐次方程，计算出结果为（3+x）e^x.从而，这个微分方程为y''+y'-y=（3+x）e^x。追问

显然可以得到e^2x和e^-x是原方程的通解， 你是怎么减的啊 我想知道这个就是我不知道怎么减成e^2x和e^-x的 才发问的 还有xe^x是原方程的一个特解 这是怎么得到的 谢谢朋友

Answer 2

首先考虑这个问题，一个二阶常系数非齐次线性微分方程的解是相应的齐次微分方程的通解加上原方程的一个特解。从而，这三个解中任意两个解的差都是原来的齐次微分方程的通解。显然可以得到e^2x和e^-x是原方程的通解，从而对应的齐次方程是y''+y'-y=0.同时xe^x是原方程的一个特解，带入这个齐次方程，计算出结果为（3+x）e^x.从而，这个微分方程为y''+y'-y=（3+x）e^x。