设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC- 1 2 c =b．（1）求角A的大小；（2）若a=1

Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC- 1 2 c =b．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC的周长的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵acosC- 1 2 c =b， ∴根据正弦定理，得sinAcosC- 1 2 sinC=sinB． 又∵△ABC中，sinB=sin（π-B）=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC， ∴sinAcosC- 1 2 sinC=sinAcosC+cosAsinC， 化简得- 1 2 sinC=cosAsinC，结合sinC＞0可得cosA=- 1 2 ∵A∈（0，π），∴A= 2π 3 ； （Ⅱ）∵A= 2π 3 ，a=1， ∴根据正弦定理 a sinA = b sinB ，可得b= asinB sinA = sinB sin 2π 3 = 2 3 3 sinB，同理可得c= 2 3 3 sinC， 因此，△ABC的周长l=a+b+c=1+ 2 3 3 sinB+ 2 3 3 sinC =1+ 2 3 3 [sinB+sin（ π 3 -B）]=1+ 2 3 3 [sinB+（ 3 2 cosB- 1 2 sinB）] =1+ 2 3 3 （ 1 2 sinB+ 3 2 cosB）=1+ 2 3 3 sin（B+ π 3 ）． ∵B∈（0， π 3 ），得B+ π 3 ∈（ π 3 ， 2π 3 ） ∴sin（B+ π 3 ）∈（ 3 2 ，1]，可得l=a+b+c=1+ 2 3 3 sin（B+ π 3 ）∈（2，1+ 2 3 3 ] 即△ABC的周长的取值范围为（2，1+ 2 3 3 ]．