1+2加到无穷大的求和公式是多少？

Question

如题所述

Answer 1

1+2加到无穷大的求和公式：
1 + 2 + 3 + … 永不停歇地加下去直到无穷，结果是多少呢？直观的结果应该是无穷大∞。可这里我告诉你答案是−112。下面给出证明。
我们要证明公式(1)，需要借助公式(2)和(3)。

1+2+3+...=−112(1)

1−1+1−1+1−...=12(2)

1−2+3−4+5−6+...=14(3)
下面证明公式(2)。设

S=1−1+1−1+1−...=1+(−1+1−1+1−...)(2.1)有
−S=−1+1−1+1−1+...(2.2)
把(2.1)和(2.2)的左右两边相减。注意，(2.1)的括号部分和(2.2)相同，能够消去。有

S−(−S)=1⇒2S=1⇒S=12
公式(2)得证。结果很直观，此序列奇数个元素相加时结果是1，偶数个数相加时结果是0，无穷个数相加时结果是1和0的平均值12。
下面证明公式(3)。设

S=1−2+3−4+5−6+...
有

S+S=1−+2+3−4+5−6+...1−2+3−4+5−...
注意S+S时第一个S中的元素和第二个S中的元素错开一位相加。推出

2S=1−1+1−1+1−...=12⇒S=14
公式(3)得证。下面证明我们的最终目标公式(1)。

设S等于公式(1)。公式(1)减去公式(3)有

(1)−(3)=4+8+12+...=4(1+2+3+...)=4S⇒S−14=4S⇒−14=3S⇒−112=S
公式(1)得证。

据说这个公式在物理学上有广泛的应用。通常物理学不喜欢无穷这个概念，用这个公式可以把无穷转化为具体的数。数学不光用来计算，还用来建模。不管公式多么违反直觉，但在解释世界时是正确的、方便的我们就采用。此公式应用到现实世界就可以推出如果你一直往银行里存钱，最终存款会变成负数噢。

Answer 2

这个极限是正无穷大。习惯上我们说:这个极限不存在。

供参考，请笑纳。