求由抛物面x²＋y²=4-z和坐标面x=0,y=0及平面y=3z,x=1y=1所围成的立体体积，急

Question

如题所述

Answer 1

先分析各图形的关系及其在xoy平面上的投影。
(1)抛物面是开口朝下的，其在xoy的截面是半径为2的圆，圆心为O。
(2)x＝0~1,y＝0~1
是个正方形的柱面
(3)y＝3z，是个过x轴的斜面，其和抛物面的交线在xoy上的投影是：
x²＋y²＝4－y/3
该投影是个圆，并且包含了前面第(2)条所说的正方形。
(4)根据上述分析，所求几何体实际就是抛物面之下，斜面之上的空间被正方形柱面所截的体积。
V＝∫
[0,1]
dx
∫
[0,1]
(4-x²-y²-y/3)
dy
＝
∫
[0,1]
dx
(4y-x²y-y³/3-y²/6)|[0,1]
＝
∫
[0,1]
(4-x²-1/2)
dx
＝4-1/3-1/2
＝19/6