已知函数是某二阶常系数非齐次线性微分方程的解，求此微分方程

Question

请问如何确定齐次通解，和非齐次特解？为什么xe^x不能是齐次通解呢？可以麻烦详细解答一下嘛

Answer 1

可以由齐次方程解的形式来判别

我们观察到符合第1种情况，齐次方程特征值有两不同根-1,2也就是

2e^(2x)-e^(-x)..

(与c1e^(r1x)+c2e^(r2x)对照)

剩下的就是非齐次方程的特解了。

我们假设xe^x是齐次方程的特征方程特征根，那么这种形式就应该符合第2种情况，有两个特征根为1的等根。

很遗憾，我们只找到了xe^x,但没又找到ce^x项(要和c1+c2x)e^(r1x)对应起来)。既然不满足第2种形式，所以，xe^x就不是齐次方程的通解了。

一定要牢记齐次方程的通解的形式，然后进行对比。

追答

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Answer 2

原微分方程应该是“y"-y'-2y=f(x)，且f(x)=(1-2x)e^x，y(0)=1，y'(0)=6”。
其过程是，∵是二阶常系数微分方程，∴e^(2x)、e^(-x)对应的是其齐次方程的通解，xe^x对应的是f(x)=(1-2x)e^x的特解【r=1非特征方程的根，不然就不是常系数方程】。
而，按照齐次方程的特征根对应关系，有(r-2)(r+1)=r²-r-2=0。∴齐次方程为y"-y'-2y=0。其通解为y*=(c1)e^(2x)+(c2)e^(-x)。
设原方程的通解为y=y*+xe^x，求出y'。∴y(0)=c1+c2=a，y'(0)=2c1-c2+1=b。将c1=2、c2=-1代入，a=1，b=6。
综上所述，微分方程是，y"-y'-2y=f(x)，且f(x)=(1-2x)e^x，y(0)=1，y'(0)=6。
供参考。

Answer 3

答案如上

Answer 4

已知y=2e^(2x)-e^(-x)+xe^x是某二阶常系数非齐次线性方程的解，求此微分方程。

解：二阶常系数齐次线性方程：y''+py'+qy=0的通解为：y=c₁e^(r₁x)+c₂e^(r₂x)；
与题目所给齐次方程的通解: y=2e^(2x)-e^(-x)对照可知：c₁=2，c₂=-1；r₁=2，r₂=-1；
由此通解可求出其特征方程 r²+pr+q=0的系数：两根之和=r₁+r₂=2-1=1=-p，故p=-1；
两根之积=r₁r₂=-2=q，即q=-2；∴相应的齐次方程为：y''-y'-2y=0;
设所求二阶非齐次线性方程为：y''-y'-2y=f(x).............①；
由所给方程可知有特解y*=xe^x; 那么对此求导：
y*'=e^x+xe^x=(1+x)e^x； y*''=e^x+(1+x)e^x=(2+x)e^x；
代入①式得：(2+x)e^x-(1+x)e^x-2xe^x=(1-2x)e^x=f(x)；
∴ 所求二阶常系数非齐次线性方程为：y''-y'-2y=(1-2x)e^x；