线性代数证明，急急急！

Question

证明以下几个命题：
A. 每个线性变换都能写成PU的形式, P是投影变换, U是可逆变换
B. 欧氏空间(指定标准内积)的线性变换都能写成P Q的形式, 其中P是对称变换, Q是正交变换
C. 每个实方阵都能写成QR的形式, Q是正交矩阵, R是上三角矩阵

Answer 1

1：矩阵A做初等变换变为【E 0；0 0】，即存在可逆阵P，Q，使得
A=P【E_r 0
0 0】，其中E_r是r阶单位阵。
令可逆阵U满足QU^(--1)P=E，即U=PQ，容易验证
AU^(--1)AU^(--1)=AU^(--1)，于是AU^(--1)=R是投影变换，A=RU满足要求。
2：奇异值分解，A=UDV^T，D是对角阵，U，V是正交阵，因此
A=UDU^T*(UV^T)=PQ，P=UDU^T对称，Q=UV^T正交阵。
3、这就是QR分解啊。用归纳法可以证明。
思路：若结论对n--1成立，则对n阶阵A，取Householder阵P1，使得
P1A=R1=【r11，*；
0 R2】，
R2是n--1阶阵，因此存在n--1阶正交阵P2，使得R2=P2*D2，
D2是上三角阵。
于是有P1A=【1 0 * 【r11 *
0 P2】 0 D2】，
A=P1^T* 【1 0 * 【r11 *
0 P2】 0 D2】
=QR，Q是前面两个正交阵的乘积，是正交阵，
R是后面的上三角阵。