一阶微分方程

Question

如题所述

Answer 1

求微分方程 x(dy/dx)-2y=2^x 的通解
解：先求齐次方程 x(dy/dx)-2y=0的通解：
分离变量得：dy/y=(2/x)dx；积分之得 lny=2lnx+lnc₁=ln(c₁x²)；
故齐次方程的通解为：y=c₁x²；将c₁换成x得函数u，得y=ux²...........①
对①取导数得：dy/dx=2xu+x²(du/dx)...........②；将①②代入原式得：
2x²u+x³(du/dx)-2ux²=2^x；化简得：x³(du/dx)=2^x；故du=[(2^x)/x³]dx;
积分之得u=∫[(2^x)/x³]dx；求出此积分并代入①式即得原方程的通解为：
y=x²∫[(2^x)/x³]dx；【此积分不好求】