把二次型化为标准型的正交矩阵是唯一得嘛？

线性代数

推荐答案 2019-01-12

显然不可能是唯一的，不过有“一定程度的唯一性”
如果Q^TAQ=Λ，其中Q是正交阵，Λ是对角阵，那么对任何以±1为对角元的对角阵D都有(QD)^TA(QD)=Λ，并且QD也是正交阵
所谓的“一定程度的唯一性”，简单一点的情况是指如果Λ没有重特征值，那么所有满足条件的正交阵都是上述QD的形式，即不唯一性只体现在Q的每列的符号有松动，别的都必须定死，这是由特征子空间的唯一性决定的

温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考

当前网址：http://11.wendadaohang.com/zd/vMSSF472F2Mq7Sv2vS.html

其他回答

第1个回答 2019-03-10

不唯一，因为正交矩阵对应着A矩阵的特征向量，特征向量有无数个。给自由变量的赋值不同特征向量就不同

第2个回答 2022-07-12

不唯一，由于二次型标准形的不唯一性决定了正交变换的矩阵也不是唯一的，注意：二次型化规范形时，对应正交变换的矩阵是唯一的，这是因为任何二次型对应的规范形唯一

相似回答

二次型正交变换后的标准形是唯一的吗?答：二次型经正交变换得到的标准型不唯一。原因如下：1、从求出正交矩阵P的过程即可得知：对特征值a,(A-aE)X=0 的基础解系不唯一，正交化后自然也不唯一，所以构成正交矩阵P也不是唯一的。2、正交变换的正交矩阵本身各列都可以调换顺序，当然相应的特征值对应调换顺序，导致系数的位置不一致，因此不唯一...