请问！！把二次型化为标准型和规范性的正交变换唯一吗？

Question

书上有例题，但是那个向量可以有很多种取法啊？？？所以总得不到书上的最后结果。。。。。。。。

Answer 1

正交变换不唯一.

注意正交矩阵Q的列向量是对应特征值的齐次线性方程组 (A-λE)X=0的基础解系
齐次线性方程组的基础解系不唯一!

若特征值是重根, 则需要正交化, 此时得到的正交的向量组也不是唯一的.

最后, 同一个特征值对应的若干个正交特征向量的放置顺序也不唯一.

所以总得不到书上的最后结果。。。。。。。。这个正常.

你只要验证一下你的结果正确就好了:
1. Q正交: 列向量组是规范(长度为1)正交向量组
2. AQ = Qdiag(λ1,...,λn)

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Answer 2

标准型不唯一，规范性是唯一的，惯性定理，线代书上都有的。追问

我怎么觉着化成规范性正交变换也不唯一呢。。。那个向量有好多种取法啊？？？。。。但是最后得的式子是唯一的，这个不假。。。。

追答

规范性正交变化也是不唯一的，最后的式子是唯一的，经过变换后的规范式系数都是正1或负1，因为经过不同的变换当然会有不同的向量取法，所以变换的过程不是唯一的，但是最后的结果唯一

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