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a满秩证明ab秩等于b的秩
.
AB
=0
B为
行
满秩
则A=0
答:
简单计算一下即可,答案如图所示 备注
AB
=0,A和B都
是
n阶矩镇,A和
B的秩
的关系
答:
设 rankA=r,r<n。由于
AB
=0,因此
B的
列向量P1,P2,P3...P(n),中每个向量都
是
n元线性方程组的解,从而P1,P2...P(n),可以由AX=0的一个基础解系Q1,Q2...Q(n-r)线性表出。所以rankB<=n-r,rank+rank<=n
设A、B都
是
n阶实矩阵,A、
B的秩
都不超过n/2.
证明
:对任意的实数a均有A...
答:
r(C+D) ≤ r(C)+r(D).原因
是
C+D的列向量可以由C和D的列向量线性表出.对任意的a, 若a = 0, 则r(
aB
) = r(0) = 0 ≤ r(B), 若a ≠ 0, 则r(aB) = r(B).于是r(A+aB) ≤ r(A)+r(aB) ≤ r(A)+r(B) < n/2+n/2 = n.即A+aB不
满秩
, 故行列式为0.
矩阵A=BC,
B
列
满秩
, 则 R(A)=R(C)为什么?用分块矩阵的方法怎么解?
答:
则
ab
^t=a1b1 a1b2 a1b3 ...a1bn a2b1 a2b2 a2b3 ...a2bn ...anb1 anb2 anb3 ...anbn 注意任何一个2*2的子矩阵 aibj aibk asbj asbk 其行列式都为0 所以任何一个k(大于
等于
2)级子式均等于0 所以ab^t 的秩<2 当某个aibj不等于0时,ab^t
的秩为
1 否则所有aibj均为0,a...
矩阵A=BC,
B
列
满秩
, 则 R(A)=R(C)为什么?用分块矩阵的方法怎么解?
答:
证明
:只要证明 AX=0 与 CX=0 同解即可.一方面,显然CX=0的解是AX=BCX=0的解.另一方面,设X1是AX=0的解,则AX1=0.所以 (BC)X1=0 所以 B(CX1)=0 因为
B
列
满秩
,所以有 CX1=0.即X1是CX=0的解.因此有 r(A)=r(C).
为什么矩阵
的秩等于
其行阶梯行矩阵非零行的行数?详细一点哈?谢了。_百...
答:
行阶梯矩阵非零行的首非零元(个数=非零行数)所在的列
是
线性无关的, 且其余向量可由它们线性表示。所以它们是A的列向量组的一个极大无关组。所以A的列秩 = 非零行的行数 所以
A的秩
= 非零行的行数 举例:比如 A = (a1,a2,a3,a4) 经过初等行变换化成 1 2 3 4 0 0 1 5...
A是n阶实对称矩阵,
证明A的秩为
n的充分必要条件是存在n阶实矩阵B,
AB
+B...
答:
必要性:若rank(A)=n,则由A和D
的秩
相等,知道D的所有对角元均非零,这样D才能
满秩
,这里将D的第i个对角元记为D(i),1<=i<=n。构造法:现在构造这样一个矩阵F,F为n阶对角阵,其第i个对角元:F(i)=1/D(i);这样DF=E为单位矩阵。我们已知A=PDP',现在令B=PFP'。则
AB
+B'A=(...
矩阵
AB
=0时,B不为零因子的充分必要条件
是B
为行
满秩
矩阵,怎么解释
答:
B为
行
满秩
矩阵则A=0,故B不为零因子。B为不为行满秩矩阵则A取xB=0的解空间中非零向量构成的矩阵,那么
B是
零因子。关键是注意到,若
AB
=0,A,B不为零时,称A,B为左右零因子。
设A
是
列
满秩
矩阵,
证明
:det(ATA)>0
答:
首先,A'Ax=0与Ax=0同解,所以r(A'A)=r(A)=A'A的阶数,从而A'A可逆。这说明Ax=0只有零解。其次,对任意非零列向量x有x'A'Ax=(Ax)'Ax>0,所以A'
A是
正定矩阵,于是det(A'A)>0。
求问为什么
B是满秩
答:
因为a1,...,as
是
基础解系,所以a1,...,as线性无关。设β,β+a1+,...,β+as线性相关,则有k,k1,...,ks不全
为
0,使得kβ+k1(a1+β)+...+ks(as+β)=0,且k+k1+...+ks不
等于
0,否则由a1,...,as线性无关得k1=...=ks=0,从而k=0,与假设矛盾,所以β可由a1,...,as线性...
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