在三角形abc中 ,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列.当三角形ABC为锐角三角形时,求SinA+SinB+

Question

SinC的取值范围

Answer 1

答：
A、B和C成等差数列：A+C=2B
又因为：A+B+C=180°
所以：2B+B=180°
所以：B=60°

原式=sinA+sinB+sinC
=sinA+sin60°+sin(180°-60°-A）
=sinA+sin(120°-A）+√3/2
=sinA+(√3/2)cosA+(1/2)sinA+√3/2
=(3/2)sinA+(√3/2)cosA+√3/2
=√3[(√3/2)sinA+(1/2)cosA]+√3/2
=√3sin(A+30°)+√3/2

因为：三角形ABC是锐角三角形
所以：0<A<90°
所以：30°<A+30°<120°
所以：1/2<sin(A+30°)<=1
所以：√3*(1/2)+√3/2<sinA+sinB+sinC<=√3*1+√3/2

所以：√3<sinA+sinB+sinC<=3√3/2

Answer 2

利用正统定理a/sinA=b/sinB=c/sinC，可知sinA、sinB、sinC也成等差数列。
所以sinA+sinB+sinC=3sinB，当B=90度时取最大值3sinB=3。所以sinA+sinB+sinC的取值范围是(0,3]