求解e^(-x^2)·cosx在负无穷到正无穷上的积分如何求

Question

如题所述

Answer 1

分享一种解法，借用“欧拉公式”变形和“正态分布的性质”求解。
①设I1=∫(-∞,∞)e^(-x²)cosxdx，I2=∫(-∞,∞)e^(-x²)sinxdx。∴I=I1+iI2=∫(-∞,∞)e^(-x²+ix)dx。
而，x²-ix=(x-i/2)²+1/4。∴I=[e^(-1/4)]∫(-∞,∞)e^[-(x-i/2)²]dx。
②，视I中的“X~N(μ,δ²)”【其中μ=i/2，δ²=1/2】。此时，利用其密度函数的性质，有∫(-∞,∞)e^[-(x-i/2)²]dx=[√(2π)]δ=√π。
∴I=[e^(-1/4)]√π。∴原式=I1=I=[e^(-1/4)]√π。
供参考。