设函数f（x）连续，且f（0）≠0，求极限limx→0∫x0(x?t)f(t)dtx∫x0f(x?t)dt

Question

设函数f（x）连续，且f（0）≠0，求极限limx→0∫x0(x?t)f(t)dtx∫x0f(x?t)dt．

Answer 1

令x-t=u；
则：dt=d（-u）=-du；

∫

x0

f(x?t)dt=

∫

0x

f(u)d(?u)=

∫

x0

f(u)du．
因此：

lim

x→0

∫ x0 (x?t)f(t)dt

x∫ x0 f(x?t)dt

=

lim

x→0

x∫ x0 f(t)dt ?∫ x0 tf(t)dt

x∫ x0 f(u)du

=

lim

x→0

∫ x0 f(t)dt+xf(x)?xf(x)

x ∫ x0 f(u)du+xf(x)

（洛必达法则）
=

lim

x→0

∫ x0 f(t)dt

x∫ x0 f(u)du+xf(x)

=

lim

x→0

f(x)

f(x)+f(x)+xf′(x)

（洛必达法则）
=

f(0)

f(0)+f(0)+0

=

1

2

．