设函数f在[a，b]上连续且无零点，F（X）=∫xaf（t）dt+∫xb1f(t)dt，则方程F（x）=0在（a，b）内根的个数

Question

设函数f在[a，b]上连续且无零点，F（X）=∫xaf（t）dt+∫xb1f(t)dt，则方程F（x）=0在（a，b）内根的个数恰为（　　）A．0B．1C．2D．3

Answer 1

因为函数f在[a，b]上连续且无零点，不妨设f（x）＞0，则
F（a）=

∫

ab

1

f(t)

dt＜0，F（b）=

∫

ba

f(t)dt＞0，
从而由连续函数的零点存在定理可得，F（x）=0至少存在一个零点．
又因为
F′（x）=f（x）+

1

f(x)

＞0，
所以F（x）在[a，b]上严格单调，
从而F（x）=0的根存在且唯一，
即：方程F（x）=0在（a，b）内根的个数为1．
故选：B．