矩阵A+ B的秩是什么？

Question

如题所述

Answer 1

r(A+B)大于等于r(A)+r(B)-n。

证明：

AB与n阶单位矩阵En构造分块矩阵，|AB O|；|O En|。

A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵，有|AB A|；|0 En|。

右边两块矩阵分乘-B加到左边两块矩阵，有|0 A |；|-B En|。

所以，r(AB)+n=r(第一个矩阵)＝r(最后一个矩阵)>=r(A)+r(B)；即r(A)+r(B)-n<=r(AB)。

在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说，如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。

若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。

由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)≠0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。

由行列式的性质1(1.5[4])知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。